【機械設計技術者試験3級】過去問解説

この記事でわかること

機械設計技術者試験3級（令和2年度）の材料力学の解説

この記事では、機械設計技術者試験3級（令和2年度）の材料力学（問題はコチラ）を解説しています。

機械設計技術者試験3級の全般的な勉強方法は以下の記事をご覧ください。

自己紹介

がまくん

機械設計技術者試験3級の合格者
元・上場メーカーの開発職
機械系の大学院卒

＊本解説は個人で作成したものです。より信頼性の高い解説は日本設計工業会の公式過去問題集をご覧ください。

リンク

大問1｜応力とひずみ、棒の伸び
大問2｜はりの曲げ
まとめ
1. 関連

大問1｜応力とひずみ、棒の伸び

問1の難易度：★★☆☆☆
→ 中学レベルの数学の問題

問2の難易度：★☆☆☆☆
→ 応力を求める基礎的な問題

問3の難易度：★★★☆☆
→ フックの法則から棒の伸びを計算

問4の難易度：★☆☆☆☆
→ 問3の解答に数値を代入

＊難易度は私の感覚です。

問1｜変断面円柱の横断面積

直径 \(d\) の円柱の横断面積 \(A\) は \[A = \frac{\pi d^{2}}{4} \] なので、位置Xの円柱の直径 \(d_x\) がわかれば解けます。

ポイント

位置Xの円柱の直径の求め方

変断面円柱の直径は一次関数的に変化しているので、AB間の直径 \(d_x\) を一次関数として考えます。 \[d_x = \frac{d_2 – d_1}{l} x + d_1 \] 傾きが \(\frac{d_2 – d_1}{l}\) 、切片が \(d_1\) の一次関数ですね。

\(d_x\) が求まれば位置Xの横断面積 \(A_x\) も求まります。 \begin{align} A_x &= \frac{\pi d_x^{2}}{4} \\[5pt] &= \frac{\pi}{4} \left(\frac{d_2 – d_1}{l} x + d_1\right)^{2} \end{align}

以上より、正解は⑥です。

問2｜応力の定義

応力は部材内に働く単位面積あたりの力です。

ポイント

応力の定義

部材に作用する力（任意断面の内力）を \(P\) 、作用面の断面積を \(A\) とすると応力 \(\sigma\) は次式で与えられます。\[\sigma = \frac{P}{A}\]

応力には力の作用面に垂直な方向に生じる垂直応力と、力の作用面に沿って生じるせん断応力があります。

細かく言うと、本問で求めるのは垂直応力です。

問1で求めた \(A_x\) を用いると、位置Xの（垂直）応力 \(\sigma_x\) は次のように算出できます。 \begin{align} \sigma_x &= \frac{P}{A_x} \\ &= \frac{P}{\frac{\pi}{4} \left(\frac{d_2 – d_1}{l} x + d_1\right)^{2}} \\ &= \frac{4 P l^{2}}{\pi \{(d_2 – d_1) x + d_1 l\}^{2}} \end{align}

以上より、正解は⑤です。

問3｜フックの法則から伸びを求める

ポイント

フックの法則

フックの法則より応力 \(\sigma\) 、ヤング率 \(E\) 、ひずみ \(\varepsilon\) には次の関係が成り立ちます。 \begin{align} \sigma &= E \varepsilon \\[3pt] \Leftrightarrow \varepsilon &= \frac{\sigma}{E} \tag{1} \end{align}

ひずみの定義

伸びを \(\lambda\) 、部材の長さを \(l\) とするとひずみ \(\varepsilon\) は次式で与えられます。 \[ \varepsilon = \frac{伸び}{部材の長さ} = \frac{\lambda}{l} \tag{2} \]

フックの法則と伸びの関係

式（1）と式（2）を整理すると \(\lambda\) は次式で与えられます。 \begin{align} \frac{\sigma}{E} &= \frac{\lambda}{l} \\[3pt] \Leftrightarrow \lambda &= \frac{\sigma}{E} l \tag{3} \end{align}

式（3）はよく使うので暗記しておいてもいいと思います。

問題では微小長さ \(dx\) に生ずる微小伸び \(d\lambda\) のひずみが \(\varepsilon_x\) とされているので、式（3）に倣って次式が成り立ちます。 \begin{align} d \lambda = \frac{\sigma_x}{E}\;dx \tag{4} \end{align} あとは問題文にしたがって式（4）に問2の結果を代入して \(0 \sim l\) まで積分します。 \begin{align} \lambda &= \int_{0}^{l} \frac{\sigma_x}{E}\;dx \\[5pt] &= \frac{4 P l^{2}}{\pi E} \int_{0}^{l} \left\{\frac{1}{(d_2 – d_1) x + d_1 l}\right\}^{2}\;dx \\[5pt] &= \frac{4 P l}{\pi E d_1 d_2} \end{align}

私

積分計算が気になる人は下の「補足」をタップ！

補足：積分の計算

以下の積分公式を使います（\(C\) は積分定数）。\[\int (a x + b)^{n}\;dx = \frac{1}{a}\;\frac{1}{n + 1}\;(a x + b)^{n + 1} + C　\] 以下の式（\(\star\)）からわかるように今回は \(n = -2\) です。 \begin{align} \lambda &= \int_{0}^{l} \frac{\sigma_x}{E} \; dx \\[5pt] &= \frac{4 P l^{2}}{\pi E} \; \int_{0}^{l} \; \left\{\frac{1}{(d_2 – d_1) x + d_1 l}\right\}^{2} \; dx \\[5pt] &= \frac{4 P l^{2}}{\pi E} \; \int_{0}^{l} \{(d_2 – d_1) x + d_1 l)\}^{-2} \; dx \tag{\(\star\)} \\[5pt] &= \frac{4 P l^{2}}{\pi E} \frac{-1}{d_2 – d_1} \left[\{(d_2 – d_1) x + d_1 l)\}^{-1}\right]^l_0 \\[5pt] &= \frac{4 P l^{2}}{\pi E} \; \frac{-1}{d_2 – d_1} \; \left(\frac{1}{d_2 l} – \frac{1}{d_1 l}\right) \\[5pt] &= \frac{4 P l^{2}}{\pi E} \; \frac{1}{d_1 – d_2} \; \frac{d_1 – d_2}{d_1 d_2 l} \\[5pt] &= \frac{4 P l}{\pi E d_1 d_2} \end{align}

以上より、正解は②です。

問4｜数値を代入

問3の答えに数値を代入するだけです。

答えは「単位：mm」で要求されているので単位変換の必要はありません。 \begin{align} \lambda &= \frac{4 P l}{\pi E d_1 d_2} \\[10pt] &= \frac{4 \times 26 \times 1850}{\pi \times 206 \times 20 \times 40} \\[10pt] &= 0.371… \\[10pt] &\approx 0.37 \end{align}

私

単位変換が気になる人は下の「補足」をタップ！

補足：単位変換

引張荷重 \(P\) について、kは \(10^3\) なので \[26\;[\rm{kN}] = 26 \times 10^3\;[\rm{N}]\] 縦弾性係数 \(E\) について、Gは \(10^9\) なので \begin{align} 206\;[\rm{GPa}] &= 206 \times 10^9\;[\rm{Pa}] \\[3pt] &= 206 \times 10^9\;\left[\rm{N}/\rm{m}^2\right] \\[3pt] &= 206 \times 10^9 \times 10^{-6} \;\left[\rm{N}/\rm{mm}^2\right] \end{align} 以上を踏まえると、 \begin{align} \lambda &= \frac{4 P l}{\pi E d_1 d_2} \\[5pt] &= \frac{4 \times (26 \times 10^3)\;[\rm{N}] \times 1850\;[\rm{mm}]}{\pi \times (206 \times 10^9 \times 10^{-6})\;\left[\rm{N}/\rm{mm}^2\right] \times 20\;[\rm{mm}] \times 40\;[\rm{mm}]} \\[5pt] &= \frac{4 \times 26\;[\rm{N}] \times 1850\;[\rm{mm}]}{\pi \times 206\;\left[\rm{N}/\rm{mm}^2\right] \times 20\;[\rm{mm}] \times 40\;[\rm{mm}]}\\[5pt] &= 0.371…[\rm{mm}]\\[5pt] &\approx 0.37\;[\rm{mm}] \end{align}

以上より、正解は③です。

大問2｜はりの曲げ

問1の難易度：★★☆☆☆
→ 釣合いから支点反力を算出

問2の難易度：★★★☆☆
→ 任意断面の曲げモーメントを算出

問3の難易度：★★★★☆
→ SFDとBMD

問4の難易度：★☆☆☆☆
→ 実質、二次関数の最大値を求める問題

問5の難易度：★★★☆☆
→ 断面二次モーメントと曲げ応力

＊難易度は私の感覚です。

はりの曲げは頻出問題なので参考書で基礎を修得することをオススメします。

ちなみに、私が実際に活用していたのは『材料力学（JSMEテキストシリーズ）』です。

リンク

問1｜はりの支点反力

上下方向の力、およびA点まわりのモーメントの釣合いはぞれぞれ次式で表される（上図参照）。 \begin{align} R_A \; – w \cdot \frac{l}{2} + R_B = 0 \tag{1} \\[5pt] -w \cdot \frac{l}{2} \cdot \frac{l}{4} + R_B \; l = 0 \tag{2} \end{align} 式（2）より、 \begin{align} R_B &= w \cdot \frac{l}{2} \cdot \frac{l}{4} \cdot \frac{1}{l} \\[5pt] &= \frac{wl}{8} \tag{3} \end{align} 式（1）（3）より、 \begin{align} R_A &= w \cdot \frac{l}{2} – R_B \\[5pt] &= w \cdot \frac{l}{2} – \frac{wl}{8} \\[5pt] &= \frac{3wl}{8} \tag{4} \end{align}

以上より、正解は①です。

問2｜任意断面の曲げモーメント

ポイント

分布荷重は単位長さあたりの荷重なので、荷重の合計は分布荷重と分布荷重を受けている長さとの積で求まります。

計算上、分布荷重の合力の作用点は分布荷重の重心として考えます。

本文においては分布荷重の中心、すなわち \(\frac{x}{2}\) の位置になります。

0<\(x\)<\(\frac{l}{2}\)において上下方向の力、およびA点まわりのモーメントの釣合いはそれぞれ次式で表される（上図参照）。 \begin{align} R_A - w\cdot x - F_X &= 0 \tag{5} \\[5pt] -wx \cdot \frac{x}{2} - F_X \cdot x + M_X &= 0 \tag{6} \end{align} 式（5）に式（4）を代入してまとめると、 \begin{align} F_X &= R_A- wx \\[5pt] &= \frac{3wl}{8} - wx \\[5pt] &= \left(\frac{3l}{8} - x\right)w \tag{7} \end{align} 式（6）（7）より、 \begin{align} M_X &= \frac{wx^2}{2} + F_X \; x \\[5pt] &= \frac{wx^2}{2} + \left(\frac{3l}{8} - x\right)w x \\[5pt] &= \left(\frac{3l}{8} - \frac{x}{2}\right)wx \end{align}

以上より、正解は⑥です。

問3｜SFDとBMD

ポイント

荷重を受ける位置の前後で場合分けしてせん断力と曲げモーメントを求めるのは鉄板です。

問2で 0<\(x\)<\(\frac{l}{2}\) の範囲を計算したので、 \(\frac{l}{2}\)<\(x\)<\(l\) の範囲を計算すればSFDとBMDを描けます。

\(\frac{l}{2}\)<\(x\)<\(l\)において上下方向の力の釣合いを考えると\(F_\rm{X}\)は次式で与えられる（上図参照）。 \begin{align} F_X + R_B &= 0 \\[3pt] \Leftrightarrow F_X &= -R_B = -\frac{wl}{8} \end{align} \(\frac{l}{2}\)<\(x\)<\(l\)においてB点まわりのモーメントの釣合いを考えると\(M_\rm{X}\)は次式で与えられる（上図参照）。 \begin{align} F_X (l-x) + M_X &= 0 \\[3pt] \Leftrightarrow M_X &= F_X (x-l) = -\frac{wl}{8}(x-l) \end{align} 問2の結果と合わせるとせん断力\(F_\rm{X}\)は次式で表される。 \begin{equation} F_\rm{X} = \left\{ \begin{aligned} -w x + \frac{3lx}{8} \;\;\; \left(0 < x < \frac{l}{2}\right) \\ -\frac{wl}{8} \;\;\; \left(\frac{l}{2} < x < l\right) \end{aligned} \right. \end{equation} また、曲げモーメント\(M_\rm{X}\)は次式で表される。 \begin{equation} M_\rm{X} = \left\{ \begin{aligned} -\frac{w}{2}x^2 + \frac{3lx}{8} \;\;\; \left(0 < x < \frac{l}{2}\right) \\ -\frac{wl}{8}x + \frac{wl^2}{8} \;\;\; \left(\frac{l}{2} < x < l\right) \end{aligned} \right. \end{equation} よって、SFDは傾きが負の一次関数と定数関数、BMDは上に凸の二次関数と傾きが負の一次関数のグラフになります。

以上より、正解は③です。

問4｜最大曲げモーメント

問3のBMDより、曲げモーメントは0<\(x\)<\(\frac{l}{2}\)に範囲で最大になるので次式を平方完成する。 \begin{align} M_\rm{X} &= -\frac{w}{2}x^2 + \frac{3l}{8}x \\[5pt] &= -\frac{w}{2} \left\{\left(x - \frac{3l}{8}\right)^2 - \frac{9l^2}{64}\right\} \end{align} よって、\(x = \frac{3l}{8}\)のときに\(M_\rm{X}\)は最大となるので、 \begin{align} M_{\rm{max}} &= \left(-\frac{w}{2}\right) \cdot \left(-\frac{9l^2}{64}\right) \\[5pt] &= \frac{9wl^2}{128} \end{align}

以上より、正解は⑤です。

問 5｜最大曲げ応力

ポイント

長方形断面の断面二次モーメント

図より \(dA = bdy\) と表せ、中立軸は底面から \(\frac{h}{2}\)の位置なので断面二次モーメント \(I\) は次式で与えられる。 \begin{align} I &= \int_{A} y^2 dA \\[5pt] &= \int^{\frac{h}{2}}_{-\frac{h}{2}} by^2 dy \\[5pt] &= \frac{bh^3}{12} \end{align}

長方形断面の断面二次モーメントはよく使うので暗記しておいてもいいですね。

最大曲げ応力 \(\sigma_{\rm{max}}\)は次のように計算できる。 \begin{align} \sigma_{\rm{max}} &= \frac{M_{\rm{max}}\;y}{I} \\[5pt] &= \frac{9wl^2}{128} \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{12}{bh^3} \\[5pt] &= \frac{27wl^2}{64bh^2} \\[5pt] &= 89.5… [\rm{MPa}] \end{align}

以上より、正解は③です。